Mit einem normalen Patchkabel müsste es gehen.
Verbinde mit einem Kabel direkt Buchse 1 und 4.

Oder um alle Buchsen in allen Zimmern mit Internet versorgen zu können mit einem Switch wie folgt.

In den Zimmern müsste es so sein (dein Foto ist leider zu klein um wirklich sicher zu sein) das nur jeweils die rechte Buchse für Netzwerk ist.

Testmöglichkeiten:
Kabelmodem im Zimmer an Buchse 4 anschiessen und am Verteiler mit dem Laptop direkt an Buchse 4 prüfen ob Verbindung möglich ist. Wenn dies möglich ist, folgendermassen vorgehen:
- Verbindung am Verteiler mit Patchkabel stecken zwischen 4 und 5. Im entsprechenden Zimmer die Buchse 5 testen.
- Verbindung am Verteiler mit Patchkabel stecken zwischen 4 und 3. Im entsprechenden Zimmer die Buchse 3 testen.
- Verbindung am Verteiler mit Patchkabel stecken zwischen 4 und 2. Im entsprechenden Zimmer die Buchse 2 testen.
- Verbindung am Verteiler mit Patchkabel stecken zwischen 4 und 1. Im entsprechenden Zimmer die Buchse 1 testen.
Entweder du bekommst keine der Verbindungen hin oder nur 4 <–> 1 geht nicht.
Sollt die Installation ganz neu und noch nie benutzt worden sein (dann verstehe ich die Sparinstallation aber wirklich nicht) den Vermieter bzw einen Elektriker hinzuziehen. Sollte das nötig sein vielleicht auch gleich mal Anfragen ob nicht ein Umbau auf Gigabit möglich ist. Analoge Telefonie in allen Zimmern und nur 100MBit/s Netzwerk ist etwas arg outdated.